Commutant d'un endomorphisme diagonalisable : énoncé (MP)
Commutant d'un endomorphisme diagonalisable
Soit $u$ diagonalisable, de valeurs propres distinctes $\lambda_1,\dots,\lambda_r$, et $d_i=\dim E_{\lambda_i}(u)$. Alors $v$ commute avec $u$ si et seulement si $v$ laisse stable chaque $E_{\lambda_i}(u)$. Dans une base adaptée à $E=\bigoplus E_{\lambda_i}(u)$, les matrices des éléments de $\mathcal C(u)$ sont les matrices diagonales par blocs $\mathrm{diag}(V_1,\dots,V_r)$, $V_i\in\mathcal M_{d_i}(\mathbb K)$ quelconques. Donc $\dim\mathcal C(u)=\sum_{i=1}^rd_i^2$.
Démonstration : Commutant d'un endomorphisme diagonalisable
Preuve
Le sens direct a été vu en section 3. Réciproquement, si $v$ stabilise chaque $E_{\lambda_i}(u)$, pour $x\in E_{\lambda_i}(u)$ : $u(v(x))=\lambda_iv(x)=v(\lambda_ix)=v(u(x))$. Les applications linéaires $u\circ v$ et $v\circ u$ coïncident sur chaque $E_{\lambda_i}(u)$, donc sur leur somme $E$. La description matricielle découle de la traduction de la stabilité (section 1), et l'espace des matrices $\mathrm{diag}(V_1,\dots,V_r)$ est de dimension $\sum d_i^2$.
Deux commutants
- Pour $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ : $d_4=1$ et $d_1=2$, donc $\dim\mathcal C(A)=1+4=5$, alors que $\dim\mathbb R[A]=\deg\pi_A=2$. Le commutant est strictement plus gros que $\mathbb R[A]$.
- Pour $D=\mathrm{diag}(1,2,3)$ : trois valeurs propres distinctes, donc $\mathcal C(D)$ est l'ensemble des matrices diagonales, égal à $\mathrm{Vect}(I_3,D,D^2)$.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Trigonalisation et puissances d'une matrice 2×2
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires
Dans le cours
Réduction des endomorphismes : Commutant d'un endomorphisme diagonalisable