Commutant d'un endomorphisme à valeurs propres simples : énoncé (MP)
Commutant d'un endomorphisme à valeurs propres simples
Le commutant de $u$ est $\mathcal C(u)=\{v\in\mathcal L(E),\ u\circ v=v\circ u\}$ ; c'est une sous-algèbre de $\mathcal L(E)$ qui contient $\mathbb K[u]$.
Si $u$ admet $n=\dim E$ valeurs propres distinctes, alors $\mathcal C(u)=\mathbb K[u]$, de dimension $n$, de base $(\mathrm{Id}_E,u,\dots,u^{n-1})$.
Démonstration : Commutant d'un endomorphisme à valeurs propres simples
Preuve
Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base de vecteurs propres, $u(e_i)=\lambda_ie_i$, les $\lambda_i$ distincts ; chaque $E_{\lambda_i}(u)=\mathrm{Vect}(e_i)$ est une droite. Soit $v\in\mathcal C(u)$. Les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$, donc $v(e_i)=\mu_ie_i$ pour un $\mu_i\in\mathbb K$. Par interpolation de Lagrange, il existe $L\in\mathbb K_{n-1}[X]$ tel que $L(\lambda_i)=\mu_i$ pour tout $i$. Alors $L(u)(e_i)=L(\lambda_i)e_i=\mu_ie_i=v(e_i)$ pour tout $i$, donc $v=L(u)\in\mathbb K[u]$. L'inclusion $\mathbb K[u]\subset\mathcal C(u)$ est claire. Enfin $\pi_u=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i)$ est de degré $n$, donc $\dim\mathbb K[u]=n$, de base $(\mathrm{Id}_E,\dots,u^{n-1})$.
S’entraîner
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- Endomorphisme annulé par X³ − 4X
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Dans le cours
Réduction des endomorphismes : Commutant d'un endomorphisme à valeurs propres simples