Trigonaliser une matrice de taille 2Utiliser Cayley-HamiltonCalculer des puissances par la formule du binôme
Soit $A=\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}\in\mathcal M_2(\mathbb R)$.
- Calculer $\chi_A$. $A$ est-elle diagonalisable ?
- Trouver $P$ inversible telle que $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$.
- On pose $N=A-2I_2$. Calculer $N^2$ et en déduire $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.
Indice 1
Pour une matrice de taille 2, $\chi_A=X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det A$.
Indice 2
Une matrice ayant une seule valeur propre $\lambda$ et diagonalisable vaut $\lambda I_2$.
Indice 3
Choisir $f_2\notin E_2(A)$ et poser $f_1=(A-2I_2)f_2$.
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