Exercice corrigé : Une suite récurrente linéaire d'ordre 3

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$, $u_1=2$, $u_2=6$ et $$\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+3}=2u_{n+2}+u_{n+1}-2u_n.$$

1. On pose $U_n=(u_n,u_{n+1},u_{n+2})^\top$. Déterminer $M\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ telle que $U_{n+1}=MU_n$, puis calculer $\chi_M$.
2. Justifier que $M$ est diagonalisable.
3. Déterminer $u_n$ en fonction de $n$, et un équivalent de $u_n$.