On considère $$A=\begin{pmatrix}3&0&-1\\2&4&2\\-1&0&3\end{pmatrix}\in\mathcal M_3(\mathbb R).$$
- Calculer $\chi_A$ et en déduire $\mathrm{Sp}(A)$, avec les multiplicités.
- Déterminer les sous-espaces propres de $A$.
- Montrer que $A$ est diagonalisable. Donner $P\in\mathrm{GL}_3(\mathbb R)$ et $D$ diagonale telles que $A=PDP^{-1}$.
- En déduire $\pi_A$.
La deuxième colonne de $XI_3-A$ ne contient qu'un coefficient non nul : développer selon cette colonne.
Contrôler le résultat avec la trace et le déterminant de $A$.
Pour la valeur propre multiple, calculer le rang de $A-\lambda I_3$.
- On a $$\chi_A=\det\begin{pmatrix}X-3&0&1\\-2&X-4&-2\\1&0&X-3\end{pmatrix}.$$ On développe selon la deuxième colonne, dont le seul coefficient non nul est $X-4$, en position $(2,2)$ (signe $+$) : $$\chi_A=(X-4)\det\begin{pmatrix}X-3&1\\1&X-3\end{pmatrix}=(X-4)\big((X-3)^2-1\big)=(X-4)(X-4)(X-2).$$ Donc $\chi_A=(X-2)(X-4)^2$. Contrôle : $\mathrm{tr}(A)=10=2+4+4$ ; en développant $\det A$ selon la deuxième colonne, $\det A=4\,(9-1)=32=2\times4\times4$.
Ainsi $\mathrm{Sp}(A)=\{2,4\}$, avec $m_2=1$ et $m_4=2$.
- Pour $\lambda=4$ : $A-4I_3=\begin{pmatrix}-1&0&-1\\2&0&2\\-1&0&-1\end{pmatrix}$. Ses lignes sont toutes colinéaires à $(1,0,1)$ : elle est de rang $1$, et le système se réduit à $x+z=0$. Donc $$E_4(A)=\mathrm{Vect}\big((0,1,0),(1,0,-1)\big),\qquad\dim E_4(A)=2.$$ Pour $\lambda=2$ : $A-2I_3=\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&2&2\\-1&0&1\end{pmatrix}$. La première ligne donne $x=z$, la deuxième $x+y+z=0$, soit $y=-2x$. Donc $E_2(A)=\mathrm{Vect}\big((1,-2,1)\big)$, ce qui est cohérent avec $m_2=1$.
Vérifications : $A(1,-2,1)=(2,-4,2)$, $A(0,1,0)=(0,4,0)$, $A(1,0,-1)=(4,0,-4)$.
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$\chi_A$ est scindé sur $\mathbb R$, et $\dim E_2(A)=1=m_2$, $\dim E_4(A)=2=m_4$ : $A$ est diagonalisable. On pose $$P=\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}.$$ En développant selon la deuxième colonne, $\det P=\det\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=-2\neq0$, donc $P$ est inversible. Les vérifications de la question 2 donnent $AP=PD$, donc $A=PDP^{-1}$.
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$A$ est diagonalisable, donc $\pi_A=\prod_{\lambda\in\mathrm{Sp}(A)}(X-\lambda)=(X-2)(X-4)$.
$\chi_A=(X-2)(X-4)^2$, $E_2=\mathrm{Vect}(1,-2,1)$, $E_4=\mathrm{Vect}\big((0,1,0),(1,0,-1)\big)$, $A$ diagonalisable, $\pi_A=(X-2)(X-4)$.