Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Réduire une matrice non diagonalisable à χ scindé

Réduire une matrice non diagonalisable à χ scindé : méthode (MP)

Méthode

Réduire une matrice non diagonalisable à χ scindé

Factoriser $\chi_A=\prod(X-\lambda_i)^{m_i}$.
Pour chaque $\lambda_i$ de multiplicité $m_i\geq 2$, calculer $F_i=\mathrm{Ker}(A-\lambda_iI_n)^{m_i}$ et vérifier $\dim F_i=m_i$ ; pour $m_i=1$, $F_i=E_{\lambda_i}(A)$.
Dans chaque $F_i$, choisir une base commençant par une base de $E_{\lambda_i}(A)$, de sorte que la matrice de l'induit soit triangulaire.
Concaténer et vérifier $AP=PT$.

Remarque

Hors programme mais classique

Réduction de Jordan : on peut choisir les bases des $F_i$ pour que $N_i$ n'ait de coefficients non nuls que sur la sur-diagonale, égaux à $0$ ou $1$.
Décomposition de Dunford : si $\chi_u$ est scindé, $u=d+n$ avec $d$ diagonalisable, $n$ nilpotent et $d\circ n=n\circ d$ ; elle découle du théorème précédent en prenant $d$ égal à $\lambda_i\mathrm{Id}$ sur chaque $F_i$. Ces résultats peuvent être utilisés à condition d'être redémontrés ou guidés par l'énoncé.

S’entraîner