Décomposition en sous-espaces caractéristiques : énoncé (MP)

1. Les polynômes $(X-\lambda_i)^{m_i}$ sont deux à deux premiers entre eux (pas de racine commune), et leur produit $\chi_u$ annule $u$ (Cayley-Hamilton). Le lemme des noyaux donne $E=\bigoplus_iF_i$. Chaque $F_i$ est le noyau d'un polynôme en $u$, donc est stable par $u$.

2. Soit $n_i=u_{F_i}-\lambda_i\mathrm{Id}_{F_i}$. Pour $x\in F_i$, $n_i^{m_i}(x)=(u-\lambda_i\mathrm{Id}_E)^{m_i}(x)=0$. Donc $n_i$ est nilpotent.

3. Soit $d_i=\dim F_i$. Comme $n_i$ est nilpotent, $\chi_{n_i}=X^{d_i}$, et $$\chi_{u_{F_i}}(X)=\det\big((X-\lambda_i)\mathrm{Id}-n_i\big)=\chi_{n_i}(X-\lambda_i)=(X-\lambda_i)^{d_i}.$$ Dans une base adaptée à $E=\bigoplus F_i$, la matrice de $u$ est diagonale par blocs, donc $\chi_u=\prod_{i=1}^r\chi_{u_{F_i}}=\prod_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{d_i}$. Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles, $d_i=m_i$ pour tout $i$.

Forme matricielle : on choisit dans chaque $F_i$ une base où la matrice $N_i$ de $n_i$ est triangulaire supérieure stricte (section 6) ; la matrice de $u_{F_i}$ y vaut $\lambda_iI_{m_i}+N_i$, et on concatène ces bases.