Calcul par blocs : énoncé (MP)

Les matrices se découpent en blocs de tailles compatibles et se multiplient comme des matrices dont les coefficients seraient des matrices. Pour $A,A'\in\mathcal M_p(\mathbb K)$, $C,C'\in\mathcal M_q(\mathbb K)$, $B,B'\in\mathcal M_{p,q}(\mathbb K)$ : $$\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A'&B'\\0&C'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}AA'&AB'+BC'\\0&CC'\end{pmatrix}.$$ En particulier, pour tout $k\in\mathbb N$, $\begin{pmatrix}A&0\\0&C\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}A^k&0\\0&C^k\end{pmatrix}$.

Déterminant triangulaire par blocs : $\det\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}=\det A\,\det C$. Le résultat s'étend à un nombre quelconque de blocs diagonaux carrés.