Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Traduction matricielle de la stabilité

Traduction matricielle de la stabilité : énoncé (MP)

Propriété

Traduction matricielle de la stabilité

Soit $F$ un sous-espace de dimension $p$, $G$ un supplémentaire de $F$, et $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ une base adaptée à $E=F\oplus G$ : $(e_1,\dots,e_p)$ base de $F$, $(e_{p+1},\dots,e_n)$ base de $G$.

$F$ est stable par $u$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}$ avec $A\in\mathcal M_p(\mathbb K)$ ; $A$ est alors la matrice de $u_F$ dans $(e_1,\dots,e_p)$.
$F$ et $G$ sont stables par $u$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}A&0\\0&C\end{pmatrix}$.

Plus généralement, si $E=F_1\oplus\cdots\oplus F_r$ et $\mathcal B$ est adaptée, tous les $F_i$ sont stables par $u$ si et seulement si $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$ est diagonale par blocs, le $i$-ème bloc étant la matrice de $u_{F_i}$.

Démonstration : Traduction matricielle de la stabilité

Démonstration

Preuve

La $j$-ème colonne de $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$ contient les coordonnées de $u(e_j)$. Si $F$ est stable, pour $j\leq p$, $u(e_j)\in F=\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_p)$, donc ses coordonnées sur $e_{p+1},\dots,e_n$ sont nulles : le bloc inférieur gauche est nul, et $A$ contient les coordonnées des $u_F(e_j)$ dans $(e_1,\dots,e_p)$. Réciproquement, si ce bloc est nul, $u(e_j)\in F$ pour tout $j\leq p$, donc par linéarité $u(F)\subset F$. Le même raisonnement sur les colonnes d'indices $j>p$ traite $G$, puis le cas de $r$ sous-espaces.

Exemple

Droites stables

Pour $T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, la droite $\mathrm{Vect}(e_1)$ est stable : $Te_1=e_1$.

Pour la matrice de rotation $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_2(\mathbb R)$, aucune droite de $\mathbb R^2$ n'est stable. Si $\mathrm{Vect}(x)$, avec $x=(a,b)\neq 0$, était stable, on aurait $Rx=\lambda x$ pour un réel $\lambda$, soit $-b=\lambda a$ et $a=\lambda b$. Alors $a=\lambda b=-\lambda^2a$, donc $(1+\lambda^2)a=0$, d'où $a=0$, puis $b=-\lambda a=0$ : contradiction.

Remarque

Droites stables et vecteurs propres

Une droite $\mathrm{Vect}(x)$, $x\neq 0$, est stable par $u$ si et seulement si $u(x)$ est colinéaire à $x$, c'est-à-dire si $x$ est un vecteur propre de $u$ (section 3). Chercher des droites stables, c'est chercher des vecteurs propres.

S’entraîner

Dans le cours

Réduction des endomorphismes : Traduction matricielle de la stabilité