Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Endomorphismes qui commutent
Endomorphismes qui commutent : énoncé (MP)
Propriété
Endomorphismes qui commutent
Si $u,v\in\mathcal L(E)$ commutent ($u\circ v=v\circ u$), alors $\mathrm{Ker}\,v$ et $\mathrm{Im}\,v$ sont stables par $u$.
Démonstration : Endomorphismes qui commutent
Démonstration
Preuve
Soit $x\in\mathrm{Ker}\,v$. Alors $v(u(x))=u(v(x))=u(0)=0$, donc $u(x)\in\mathrm{Ker}\,v$.
Soit $y\in\mathrm{Im}\,v$ : il existe $x\in E$ tel que $y=v(x)$. Alors $u(y)=u(v(x))=v(u(x))\in\mathrm{Im}\,v$.
S’entraîner
- Commutant d'une matrice nilpotente et racine carrée
- Endomorphismes nilpotents : inverse, déterminant, forme réduite
- Codiagonalisation de deux endomorphismes qui commutent
- Réduction de l'endomorphisme M ↦ AM − MA
- Codiagonalisation et non-isomorphie des groupes linéaires