Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq1$, et $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$.
- Montrer que chaque sous-espace propre de $u$ est stable par $v$.
- Montrer que, pour tout $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$, l'endomorphisme induit par $v$ sur $E_\lambda(u)$ est diagonalisable.
- En déduire qu'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à $u$ et $v$.
- Montrer que $u+v$ et $u\circ v$ sont diagonalisables.
- Montrer par un exemple dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ que la conclusion sur $u+v$ tombe en défaut sans l'hypothèse de commutation.
$u-\lambda\mathrm{Id}_E$ commute avec $v$.
Un polynôme annulateur scindé à racines simples de $v$ annule aussi chaque endomorphisme induit.
Pour la question 5, ajouter une matrice triangulaire à deux valeurs propres distinctes et une matrice diagonale, de façon à obtenir une matrice nilpotente non nulle.
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Soit $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$. $u-\lambda\mathrm{Id}_E$ commute avec $v$, car $(u-\lambda\mathrm{Id}_E)\circ v=u\circ v-\lambda v=v\circ u-\lambda v=v\circ(u-\lambda\mathrm{Id}_E)$. Donc son noyau $E_\lambda(u)$ est stable par $v$ : si $x\in E_\lambda(u)$, $(u-\lambda\mathrm{Id}_E)(v(x))=v\big((u-\lambda\mathrm{Id}_E)(x)\big)=0$.
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$v$ est diagonalisable, donc $\pi_v$ est scindé à racines simples. Pour $x\in E_\lambda(u)$ et $k\in\mathbb N$, $v_\lambda^k(x)=v^k(x)$, où $v_\lambda$ désigne l'induit de $v$ sur $E_\lambda(u)$ ; donc $\pi_v(v_\lambda)(x)=\pi_v(v)(x)=0$. $\pi_v$ est un annulateur de $v_\lambda$ scindé à racines simples : $v_\lambda$ est diagonalisable ($E_\lambda(u)\neq\{0\}$ puisque $\lambda$ est valeur propre).
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Pour chaque $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$, on choisit une base $\mathcal B_\lambda$ de $E_\lambda(u)$ formée de vecteurs propres de $v_\lambda$, donc de $v$. Ses vecteurs sont non nuls et dans $E_\lambda(u)$ : ce sont aussi des vecteurs propres de $u$. Comme $u$ est diagonalisable, $E=\bigoplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}E_\lambda(u)$, et la concaténation $\mathcal B$ des $\mathcal B_\lambda$ est une base de $E$ adaptée à cette somme directe. Elle est formée de vecteurs propres communs à $u$ et $v$.
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Dans $\mathcal B$, $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)=D$ et $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(v)=D'$ sont diagonales. Alors $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u+v)=D+D'$ et $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u\circ v)=DD'$ sont diagonales : $u+v$ et $u\circ v$ sont diagonalisables.
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Soit $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}$. $A$ est triangulaire de valeurs propres $1$ et $0$, distinctes : elle est diagonalisable ; $B$ est diagonale. On a $AB=\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}$ et $BA=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&0\end{pmatrix}$, donc $AB\neq BA$. Et $A+B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ est nilpotente non nulle, donc non diagonalisable (un nilpotent diagonalisable est nul).
Deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont codiagonalisables ; $u+v$ et $u\circ v$ sont alors diagonalisables ; contre-exemple sans commutation : $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$.