Somme directe des sous-espaces propres : énoncé (MP)
Somme directe des sous-espaces propres
Soit $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ des valeurs propres de $u$ deux à deux distinctes. Alors la somme $E_{\lambda_1}(u)+\cdots+E_{\lambda_p}(u)$ est directe. Par conséquent, toute famille $(x_1,\dots,x_p)$ où $x_i$ est un vecteur propre associé à $\lambda_i$ est libre, et en dimension $n$, $u$ admet au plus $n$ valeurs propres.
Démonstration : Somme directe des sous-espaces propres
Preuve
Les polynômes $X-\lambda_1,\dots,X-\lambda_p$ sont deux à deux premiers entre eux, car les $\lambda_i$ sont distincts. Le lemme des noyaux appliqué à $P=\prod_{i=1}^p(X-\lambda_i)$ donne $$\mathrm{Ker}\,P(u)=\bigoplus_{i=1}^p\mathrm{Ker}(u-\lambda_i\mathrm{Id}_E)=\bigoplus_{i=1}^pE_{\lambda_i}(u),$$ donc la somme des $E_{\lambda_i}(u)$ est directe.
Si $\sum_{i=1}^pa_ix_i=0$, chaque $a_ix_i$ appartient à $E_{\lambda_i}(u)$ ; la somme étant directe, $a_ix_i=0$ pour tout $i$, et comme $x_i\neq 0$, $a_i=0$. Enfin, une famille libre de $E$ a au plus $n$ éléments.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires
- Endomorphisme annulé par X³ − 4X
- Endomorphismes nilpotents : inverse, déterminant, forme réduite
Dans le cours
Réduction des endomorphismes : Somme directe des sous-espaces propres