Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Éléments propres, spectre

Éléments propres, spectre : définition (MP)

Définition

Éléments propres, spectre

Soit $\lambda\in\mathbb K$. On dit que $\lambda$ est valeur propre de $u$ s'il existe $x\in E$, $x\neq 0$, tel que $u(x)=\lambda x$ ; un tel $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ (un vecteur propre est non nul par définition). Le sous-espace propre associé à $\lambda$ est $$E_\lambda(u)=\mathrm{Ker}(u-\lambda\,\mathrm{Id}_E).$$ $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $E_\lambda(u)\neq\{0\}$, c'est-à-dire si $u-\lambda\mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif. En dimension finie, cela équivaut à : $u-\lambda\mathrm{Id}_E$ n'est pas inversible, ou $\det(u-\lambda\mathrm{Id}_E)=0$. En dimension finie, l'ensemble des valeurs propres est le spectre de $u$, noté $\mathrm{Sp}(u)$.

Pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on définit de même valeurs propres, vecteurs propres $X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb K)$, sous-espaces propres et spectre $\mathrm{Sp}_{\mathbb K}(A)$.

Remarque

Premières observations

$0\in\mathrm{Sp}(u)$ si et seulement si $u$ n'est pas injectif ; en dimension finie, si et seulement si $u$ n'est pas inversible.
Deux matrices semblables ont le même spectre : ce sont deux matrices d'un même endomorphisme.
Le spectre d'une matrice réelle dépend du corps : on distingue $\mathrm{Sp}_{\mathbb R}(A)$ et $\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(A)$, et $\mathrm{Sp}_{\mathbb R}(A)=\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(A)\cap\mathbb R$.
Si $u$ et $v$ commutent, chaque sous-espace propre $E_\lambda(u)$ est stable par $v$ : c'est la section 1 appliquée à $u-\lambda\mathrm{Id}_E$, qui commute avec $v$.

Exemple

En dimension infinie

Sur $E=\mathcal C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$, soit $D : f\mapsto f'$. Pour tout $\lambda\in\mathbb R$, les solutions de $f'=\lambda f$ sont les $t\mapsto ce^{\lambda t}$ : tout réel est valeur propre, et $E_\lambda(D)=\mathrm{Vect}(t\mapsto e^{\lambda t})$.
Sur $\mathbb K[X]$, l'endomorphisme $M : P\mapsto XP$ n'a aucune valeur propre : si $XP=\lambda P$ avec $P\neq 0$, alors $\deg(XP)=\deg P+1$ alors que $\deg(\lambda P)\leq\deg P$, ce qui est impossible.

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Réduction des endomorphismes : Éléments propres, spectre