Exercice corrigé : Endomorphismes nilpotents : inverse, déterminant, forme réduite

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geq2$ et $u\in\mathcal L(E)$ nilpotent d'indice $q$.

1. Déterminer $\mathrm{Sp}(u)$.
2. Montrer que $\mathrm{Id}_E+u$ est inversible et exprimer son inverse comme polynôme en $u$.
3. Montrer que $\det(\mathrm{Id}_E+u)=1$.
4. On suppose $q=n$. Soit $x\in E$ tel que $u^{n-1}(x)\neq0$. a) Montrer que $\mathcal B=\big(u^{n-1}(x),u^{n-2}(x),\dots,u(x),x\big)$ est une base de $E$. b) Écrire la matrice de $u$ dans $\mathcal B$. En déduire $\mathrm{rg}(u^k)$ et $\dim\mathrm{Ker}(u^k)$ pour $0\leq k\leq n$.