Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Valeurs propres et polynômes

Valeurs propres et polynômes : énoncé (MP)

Théorème

Valeurs propres et polynômes

Soit $x$ un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$. Pour tout $P\in\mathbb K[X]$, $P(u)(x)=P(\lambda)x$.

Si $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $P$.
En dimension finie, les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\pi_u$ dans $\mathbb K$.

Démonstration : Valeurs propres et polynômes

Démonstration

Preuve

Par récurrence, $u^k(x)=\lambda^kx$ pour tout $k\in\mathbb N$ ; par linéarité, $P(u)(x)=\sum_k a_k\lambda^kx=P(\lambda)x$.

Si $P(u)=0$, alors $P(\lambda)x=0$ avec $x\neq 0$, donc $P(\lambda)=0$.
Par 1, toute valeur propre est racine de $\pi_u$. Réciproquement, soit $\lambda\in\mathbb K$ tel que $\pi_u(\lambda)=0$ ; on écrit $\pi_u=(X-\lambda)Q$ avec $\deg Q<\deg\pi_u$. Par minimalité, $Q(u)\neq 0$ : il existe $y\in E$ tel que $x=Q(u)(y)\neq 0$. Alors $(u-\lambda\mathrm{Id}_E)(x)=\pi_u(u)(y)=0$, donc $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$.

Attention

Racines d'un annulateur

Un polynôme annulateur peut avoir des racines qui ne sont pas valeurs propres : $X(X-1)$ annule $\mathrm{Id}_E$, mais $0$ n'est pas valeur propre de $\mathrm{Id}_E$. Pour un annulateur quelconque, on a seulement l'inclusion du spectre dans l'ensemble des racines ; l'égalité vaut pour $\pi_u$ (et pour $\chi_u$, section 4).

Exemple

Spectre d'un projecteur, d'une rotation

Comme $X(X-1)$ annule un projecteur $p$, $\mathrm{Sp}(p)\subset\{0,1\}$. Si $p\neq 0$ et $p\neq\mathrm{Id}_E$, $\pi_p=X(X-1)$, donc $\mathrm{Sp}(p)=\{0,1\}$, avec $E_1(p)=\mathrm{Im}\,p$ et $E_0(p)=\mathrm{Ker}\,p$.

Pour la rotation $R$, $\pi_R=X^2+1$ n'a pas de racine réelle : $\mathrm{Sp}_{\mathbb R}(R)=\varnothing$, tandis que $\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(R)=\{i,-i\}$.

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Réduction des endomorphismes : Valeurs propres et polynômes