Terminale › Calcul intégral › Positivité et croissance
Positivité et croissance : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Positivité et croissance
Soit $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ avec $a\le b$.
- Positivité : si $f\ge0$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge0$.
- Croissance (intégration d'une inégalité) : si $f\le g$ sur $[a\,;\,b]$, alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$.
Démonstration : Positivité et croissance
Démonstration
Positivité et croissance
Positivité : soit $F$ une primitive de $f$. Comme $F'=f\ge0$ sur $[a\,;\,b]$, $F$ est croissante sur $[a\,;\,b]$. Puisque $a\le b$, $F(a)\le F(b)$, donc $\int_a^b f=F(b)-F(a)\ge0$.
Croissance : si $f\le g$, alors $g-f\ge0$. Par positivité, $\int_a^b(g-f)\ge0$, et par linéarité $\int_a^b g-\int_a^b f\ge0$.
Attention
La réciproque est fausse et l'ordre des bornes compte
- Une intégrale positive ne signifie pas que la fonction est positive : $\int_{-1}^2x\,\mathrm{d}x=\frac{4}{2}-\frac12=\frac32>0$ alors que $x<0$ sur $[-1\,;\,0[$.
- Si $a>b$, les inégalités s'inversent : $\int_1^0 1\,\mathrm{d}x=-1<0$ alors que $1>0$. Avant d'intégrer une inégalité, on vérifie que la borne du bas est inférieure à celle du haut.