Interprétation en termes d'aire selon le signe : énoncé (Terminale spé)

Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a\le b$.

• Si $f\ge0$ sur $[a\,;\,b]$ : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire du domaine sous la courbe.
• Si $f\le0$ sur $[a\,;\,b]$ : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'opposé de l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses.
• Si $f$ change de signe : l'intégrale est une aire algébrique ; les parties situées au-dessus de l'axe comptent positivement, celles situées en dessous négativement.

Exemple : $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=\big[-\cos x\big]_0^{2\pi}=-1+1=0$. L'arche positive sur $[0\,;\,\pi]$ (aire $2$) compense exactement l'arche négative sur $[\pi\,;\,2\pi]$.