Établir une inégalité entre fonctionsUtiliser la croissance de l'intégraleEncadrer une intégrale
On pose $\displaystyle I=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$.
- Démontrer que pour tout réel $x$ : $$1-x^2\le\frac{1}{1+x^2}\le1-x^2+x^4.$$
- En déduire un encadrement de $I$ par deux fractions.
- Quelle est l'amplitude de cet encadrement ?
Indice 1
Pour comparer deux expressions, étudier le signe de leur différence en réduisant au même dénominateur.
Indice 2
Développer $(1-x^2)(1+x^2)$ et $(1-x^2+x^4)(1+x^2)$.
Indice 3
Intégrer l'encadrement sur $[0\,;\,1]$, en vérifiant l'ordre des bornes.
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