Relation de Chasles : énoncé (Terminale spé)
Relation de Chasles
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a,b,c\in I$ (dans n'importe quel ordre). Alors $$\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x.$$
Démonstration : avec $F$ primitive de $f$, $F(c)-F(a)=\big(F(b)-F(a)\big)+\big(F(c)-F(b)\big)$.
Pour une fonction positive et $a\le b\le c$, cela traduit l'additivité des aires : le domaine sur $[a\,;\,c]$ est la réunion des domaines sur $[a\,;\,b]$ et $[b\,;\,c]$.
Utiliser Chasles avec une valeur absolue
Calculer $\int_{-1}^2|x|\,\mathrm{d}x$. Sur $[-1\,;\,0]$, $|x|=-x$ ; sur $[0\,;\,2]$, $|x|=x$. Donc $$\int_{-1}^2|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^0(-x)\,\mathrm{d}x+\int_0^2x\,\mathrm{d}x=\left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=\frac12+2=\frac52.$$
S’entraîner
- Intégrales et aires géométriques
- Linéarité et relation de Chasles
- Aire et aire algébrique avec le logarithme
- Suite d'intégrales avec des puissances du logarithme