Combinaison, coefficient binomial : définition (Terminale spé)
Combinaison, coefficient binomial
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $k$ un entier naturel. Une combinaison de $k$ éléments de $E$ est une partie de $E$ à $k$ éléments.
Le nombre de combinaisons de $k$ éléments de $E$ se note $\binom{n}{k}$ et se lit « $k$ parmi $n$ ». Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Dans une partie, l'ordre ne compte pas et il n'y a pas de répétition : $\{a;b\}=\{b;a\}$.
Si $k>n$, aucune partie de $E$ n'a $k$ éléments : $\binom{n}{k}=0$.
Parties à 2 éléments de {a ; b ; c ; d}
Les parties à 2 éléments de $E=\{a;b;c;d\}$ sont $$\{a;b\},\ \{a;c\},\ \{a;d\},\ \{b;c\},\ \{b;d\},\ \{c;d\}.$$ Donc $\binom{4}{2}=6$.
En comparaison, il y a $4\times3=12$ couples d'éléments distincts : chaque partie $\{x;y\}$ correspond aux deux couples $(x;y)$ et $(y;x)$, et $12=6\times2$. C'est l'idée de la démonstration qui suit.
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Combinatoire et dénombrement : Combinaison, coefficient binomial