Exercice corrigé : Diagonales d'un polygone

On considère un polygone convexe à $n$ côtés ($n\geqslant 3$). Une diagonale est un segment qui joint deux sommets non consécutifs.

1. Combien de segments peut-on tracer en joignant deux sommets du polygone ?
2. Montrer que le nombre de diagonales est $d_n=\dfrac{n(n-3)}{2}$.
3. Calculer $d_{10}$.
4. Déterminer le polygone qui possède exactement 54 diagonales.