Valeurs particulières et symétrie : énoncé (Terminale spé)
Valeurs particulières et symétrie
Pour tout entier $n\geqslant 0$ : $$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1.$$ Pour tout entier $n\geqslant 1$ : $$\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n.$$ Pour tout entier $n\geqslant 2$ : $$\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.$$ Symétrie : pour tout $0\leqslant k\leqslant n$, $$\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}.$$
Démonstration : Valeurs particulières et symétrie
Symétrie des coefficients binomiaux
Par dénombrement. Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. À toute partie $A$ de $E$ à $k$ éléments, on associe son complémentaire $\overline{A}$, qui possède $n-k$ éléments. Cette correspondance est une bijection entre les parties à $k$ éléments et les parties à $n-k$ éléments : toute partie $B$ à $n-k$ éléments est le complémentaire d'une unique partie à $k$ éléments, à savoir $\overline{B}$. Les deux ensembles de parties ont donc le même nombre d'éléments : $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Par le calcul. $$\binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\,(n-(n-k))!}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}=\binom{n}{k}.$$
Interprétation : choisir les $k$ éléments que l'on garde revient à choisir les $n-k$ éléments que l'on écarte.
Comités, poignées de main, mains de cartes
- Comité de 3 personnes choisies parmi 10 (sans rôle particulier) : $\binom{10}{3}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\dfrac{720}{6}=120$.
- 10 personnes se serrent la main deux à deux une seule fois : une poignée de main correspond à une paire de personnes, soit $\binom{10}{2}=\dfrac{10\times9}{2}=45$ poignées de main.
- Une main de 5 cartes tirées simultanément dans un jeu de 32 cartes : $\binom{32}{5}=\dfrac{32\times31\times30\times29\times28}{120}=201\,376$ mains.
- Une grille où l'on coche 5 numéros parmi 49 : $\binom{49}{5}=1\,906\,884$ grilles.
- Par symétrie, $\binom{20}{18}=\binom{20}{2}=\dfrac{20\times19}{2}=190$.
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Combinatoire et dénombrement : Valeurs particulières et symétrie