Expression d'un coefficient binomial : énoncé (Terminale spé)

Pour $k=0$ : la seule partie à 0 élément est $\emptyset$, donc $\binom{n}{0}=1$, et $\frac{n!}{0!\,n!}=1$. La formule est vraie.

Soit $1\leqslant k\leqslant n$. On dénombre de deux façons l'ensemble $\mathcal{A}$ des k-uplets d'éléments distincts de $E$.

• D'après la section précédente, $\mathrm{card}(\mathcal{A})=\dfrac{n!}{(n-k)!}$.
• Autre façon : construire un tel k-uplet revient à choisir d'abord l'ensemble $\{x_1;\ldots;x_k\}$ de ses composantes, partie de $E$ à $k$ éléments ($\binom{n}{k}$ choix), puis l'ordre de ces $k$ éléments, c'est-à-dire une permutation de cette partie ($k!$ choix, quelle que soit la partie). Chaque k-uplet d'éléments distincts est obtenu une et une seule fois. Par le principe multiplicatif, $\mathrm{card}(\mathcal{A})=\binom{n}{k}\times k!$.

On en déduit $\binom{n}{k}\times k!=\dfrac{n!}{(n-k)!}$, d'où $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$ La seconde écriture vient de $\dfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.