Calculer sans calculatrice, en simplifiant avant de multiplier :
- $\dfrac{6!}{4!}$ ;
- $\dfrac{8!}{5!\,3!}$ ;
- $\binom{9}{2}$ ;
- $\binom{12}{10}$ ;
- $\binom{7}{0}$ et $\binom{7}{7}$.
Écrire $6!=6\times5\times4!$ pour simplifier la fraction.
Dans la question 2, reconnaître l'expression $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.
Pour $\binom{12}{10}$, remplacer $10$ par $12-10$ grâce à la symétrie.
Penser à la convention sur $0!$.
-
$6!=6\times5\times4!$, donc $\dfrac{6!}{4!}=6\times5=30$.
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On reconnaît $\dfrac{8!}{3!\,(8-3)!}=\binom{8}{3}$. Donc $$\dfrac{8!}{5!\,3!}=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=\dfrac{336}{6}=56.$$
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$\binom{9}{2}=\dfrac{9\times8}{2}=36$.
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Par symétrie, $\binom{12}{10}=\binom{12}{12-10}=\binom{12}{2}=\dfrac{12\times11}{2}=66$.
-
Comme $0!=1$ : $\binom{7}{0}=\dfrac{7!}{0!\,7!}=1$ et $\binom{7}{7}=\dfrac{7!}{7!\,0!}=1$. On retrouve qu'un ensemble à 7 éléments a une seule partie à 0 élément ($\emptyset$) et une seule partie à 7 éléments (lui-même).
30 ; 56 ; 36 ; 66 ; 1 et 1