Dérivée seconde : définition (Terminale spé)
Dérivée seconde
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si sa fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, on dit que $f$ est deux fois dérivable sur $I$. La dérivée de $f'$ s'appelle la dérivée seconde de $f$ et se note $f''$ : $$f''=(f')'.$$
Un polynôme
$f(x)=x^4-2x^3$ sur $\mathbb{R}$. $$f'(x)=4x^3-6x^2 \qquad f''(x)=12x^2-12x=12x(x-1).$$ $f''(x)$ est un trinôme de racines $0$ et $1$, positif à l'extérieur des racines : $f''(x)\geqslant 0$ sur $]-\infty\,;0]\cup[1\,;+\infty[$ et $f''(x)\leqslant 0$ sur $[0\,;1]$.
Avec une exponentielle
$g(x)=xe^x$ sur $\mathbb{R}$. Par la formule du produit : $$g'(x)=1\times e^x+x\times e^x=(x+1)e^x,$$ $$g''(x)=1\times e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x.$$ Comme $e^x>0$, $g''(x)$ a le signe de $x+2$.
Ce que dit le signe de $f''$
$f''$ est la dérivée de $f'$. Son signe donne donc les variations de $f'$ : si $f''\geqslant 0$ sur $I$, $f'$ est croissante sur $I$, c'est-à-dire que les pentes des tangentes augmentent quand $x$ augmente. C'est cette idée qui relie $f''$ à la forme de la courbe dans les sections suivantes.
S’entraîner
- Dériver des fonctions composées
- Composer dans les deux sens
- Convexité d'une fonction polynôme de degré 4
- Lire la convexité sur le tableau de variations de f'
- Convexité d'un produit avec l'exponentielle
Dans le cours
Compléments sur la dérivation, convexité : Dérivée seconde