Pour chacune des fonctions suivantes, justifier qu'elle est dérivable sur l'intervalle indiqué et calculer sa dérivée.
- $f(x)=(2x-5)^3$ sur $\mathbb{R}$.
- $g(x)=e^{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$.
- $h(x)=\sqrt{3x+6}$ sur $]-2\,;+\infty[$.
- $k(x)=\frac{1}{x^2+x+1}$ sur $\mathbb{R}$.
Pour chaque fonction, repérer la fonction intérieure $u$ et la ligne correspondante du tableau des cas particuliers.
Pour $h$, étudier le signe de $3x+6$ lorsque $x>-2$.
Pour $k$, calculer le discriminant de $x^2+x+1$ pour vérifier que le dénominateur ne s'annule pas.
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$f=u^3$ avec $u(x)=2x-5$, dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x)=2$. Avec $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ : $$f'(x)=3\times 2\times(2x-5)^2=6(2x-5)^2.$$
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$g=e^{u}$ avec $u(x)=x^2+1$, dérivable sur $\mathbb{R}$, $u'(x)=2x$. Avec $(e^u)'=u'e^u$ : $$g'(x)=2xe^{x^2+1}.$$
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$h=\sqrt{u}$ avec $u(x)=3x+6$. Pour $x>-2$, $3x>-6$ donc $u(x)>0$ : $h$ est dérivable sur $]-2\,;+\infty[$. Comme $u'(x)=3$ : $$h'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}.$$
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$k=\frac1u$ avec $u(x)=x^2+x+1$. Le discriminant de ce trinôme vaut $1^2-4\times1\times1=-3<0$ et son coefficient dominant est positif : $u(x)>0$ pour tout réel $x$. Donc $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, avec $u'(x)=2x+1$ : $$k'(x)=-\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}.$$
$f'(x)=6(2x-5)^2$ ; $g'(x)=2xe^{x^2+1}$ ; $h'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}$ ; $k'(x)=-\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$