On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=3x-2$ et $v(x)=e^x$.
- Exprimer $(v\circ u)(x)$ et $(u\circ v)(x)$ en fonction de $x$.
- Calculer $(v\circ u)(0)$ et $(u\circ v)(0)$. Que peut-on en conclure ?
- Calculer les dérivées des fonctions $v\circ u$ et $u\circ v$.
- Écrire la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(e^x+1)^3$ comme la composée de deux fonctions, puis calculer $F'(x)$.
Pour $v\circ u$, on applique d'abord $u$, puis $v$ au résultat.
Deux fonctions égales prennent la même valeur en chaque point.
Pour $F$, la fonction intérieure est ce qui est élevé au cube.
-
$(v\circ u)(x)=v(u(x))=e^{3x-2}$ et $(u\circ v)(x)=u(v(x))=3e^x-2$.
-
$(v\circ u)(0)=e^{-2}$ et $(u\circ v)(0)=3e^0-2=1$. Comme $-2<0$, $e^{-2}<1$ : les deux valeurs sont différentes, donc $v\circ u\neq u\circ v$.
-
$v\circ u$ est de la forme $e^{w}$ avec $w(x)=3x-2$, $w'(x)=3$ : $(v\circ u)'(x)=3e^{3x-2}$.
$(u\circ v)(x)=3e^x-2$ donc $(u\circ v)'(x)=3e^x$. On retrouve la formule : $(u\circ v)'(x)=v'(x)\times u'(v(x))=e^x\times 3$.
- On pose $s(x)=e^x+1$ et $w(X)=X^3$ : $F=w\circ s$. Comme $s'(x)=e^x$, avec $(s^3)'=3\,s'\,s^2$ : $$F'(x)=3e^x(e^x+1)^2.$$
$(v\circ u)(x)=e^{3x-2}$, $(u\circ v)(x)=3e^x-2$ ; $F'(x)=3e^x(e^x+1)^2$