On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-6x^2+3$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.
- Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.
- Étudier le signe de $f''(x)$ et en déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe ou concave.
- Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
- Donner une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$. Quelle est la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à cette tangente au voisinage de $A$ ?
Factoriser $f''(x)$ par $12$, puis reconnaître une identité remarquable.
Un trinôme est du signe de son coefficient dominant à l'extérieur de ses racines.
Un point d'inflexion se donne par ses deux coordonnées.
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$f$ est une fonction polynôme, donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$f'(x)=4x^3-12x \qquad f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1).$$
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$f''(x)$ est un trinôme de racines $-1$ et $1$, de coefficient dominant $12>0$ : il est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | convexe | concave | convexe |
$f$ est convexe sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$, concave sur $[-1\,;1]$.
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$f''$ s'annule en changeant de signe en $-1$ et en $1$. On calcule $f(-1)=1-6+3=-2$ et $f(1)=1-6+3=-2$. La courbe admet deux points d'inflexion : $(-1\,;-2)$ et $(1\,;-2)$.
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$f(1)=-2$ et $f'(1)=4-12=-8$. La tangente en $A$ a pour équation $y=-8(x-1)-2$, soit $y=-8x+6$.
$A$ est un point d'inflexion : la courbe traverse sa tangente en $A$. Elle est en dessous pour $x$ proche de $1$ avec $x<1$ (zone où $f$ est concave) et au-dessus pour $x>1$ (zone où $f$ est convexe).
Convexe sur $]-\infty;-1]$ et $[1;+\infty[$, concave sur $[-1;1]$ ; points d'inflexion $(-1;-2)$ et $(1;-2)$ ; tangente $y=-8x+6$