Terminale › Compléments sur la dérivation, convexité › Premiers liens
Premiers liens : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Premiers liens
- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$.
- Une fonction affine est à la fois convexe et concave sur $\mathbb{R}$ : sa courbe est confondue avec chacune de ses cordes.
Attention
Convexe ne veut pas dire croissante
La convexité décrit la forme de la courbe, pas son sens de variation. $x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ mais décroissante sur $]-\infty\,;0]$. $x\mapsto e^{-x}$ est convexe et décroissante sur $\mathbb{R}$.
Remarque
Formulation analytique (hors programme)
La définition se traduit par : pour tous $a,b\in I$ et tout $t\in[0\,;1]$, $$f\big(ta+(1-t)b\big)\leqslant t\,f(a)+(1-t)\,f(b).$$ Cette écriture n'est pas exigible en Terminale ; elle devient la définition usuelle en prépa.
S’entraîner
- Dériver des fonctions composées
- Composer dans les deux sens
- Convexité d'une fonction polynôme de degré 4