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Fonction convexe, fonction concave : définition (Terminale spé)
Définition
Fonction convexe, fonction concave
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
- $f$ est convexe sur $I$ si, pour tous réels $a<b$ de $I$, la portion de $\mathcal{C}_f$ entre les points d'abscisses $a$ et $b$ est située en dessous de la corde $[AB]$.
- $f$ est concave sur $I$ si, pour tous réels $a<b$ de $I$, cette portion de courbe est située au-dessus de la corde $[AB]$.
Image mentale : une fonction convexe a une courbe « en creux », tournée vers le haut, comme $x\mapsto x^2$ ; une fonction concave a une courbe « en bosse », comme $x\mapsto -x^2$.
Exemple
Vérifier la définition sur un cas
$f(x)=x^2$, $a=0$, $b=2$. Les points sont $A(0\,;0)$ et $B(2\,;4)$. La corde $[AB]$ est portée par la droite $y=2x$.
Pour $x\in[0\,;2]$ : $x^2-2x=x(x-2)\leqslant 0$ car $x\geqslant 0$ et $x-2\leqslant 0$. Donc $x^2\leqslant 2x$ : la courbe est sous la corde. On retrouve ce comportement pour toute corde, ce que la section suivante permettra de justifier rapidement.
S’entraîner
- Dériver des fonctions composées
- Composer dans les deux sens
- Convexité d'une fonction polynôme de degré 4
- Lire la convexité sur le tableau de variations de f'
- Convexité d'un produit avec l'exponentielle
Dans le cours
Compléments sur la dérivation, convexité : Fonction convexe, fonction concave