Lemme d'Euclide : énoncé (Maths expertes)

Soit $p$ un nombre premier et $a$, $b$ des entiers. Si $p$ divise $ab$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.

Preuve. Supposons que $p$ ne divise pas $a$. Les diviseurs positifs de $p$ sont $1$ et $p$, et $p$ ne divise pas $a$, donc $\mathrm{PGCD}(p, a) = 1$. Comme $p \mid ab$, le théorème de Gauss donne $p \mid b$.

Par récurrence, si $p$ divise un produit $a_1 a_2 \cdots a_k$, il divise l'un des facteurs. En particulier, si $p \mid a^k$, alors $p \mid a$.