Infinité des nombres premiers : énoncé (Maths expertes)

On raisonne par l'absurde. Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1, p_2, \dots, p_k$. On pose $$N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1.$$ $N \geqslant 2$, donc $N$ admet un diviseur premier, qui est l'un des $p_i$. Alors $p_i$ divise $N$ et divise $p_1 p_2 \cdots p_k$, donc il divise la différence $N - p_1 \cdots p_k = 1$. C'est impossible car $p_i \geqslant 2$. Il y a donc une infinité de nombres premiers.