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Plus petit diviseur : énoncé (Maths expertes)

Propriété

Plus petit diviseur

Soit $n \geqslant 2$.

Le plus petit diviseur de $n$ supérieur ou égal à $2$ est un nombre premier. En particulier, tout entier $n \geqslant 2$ admet au moins un diviseur premier.
Si $n$ n'est pas premier, il admet un diviseur premier $p$ tel que $p^2 \leqslant n$, c'est-à-dire $p \leqslant \sqrt{n}$.

Démonstration : Plus petit diviseur

Démonstration

Preuve

L'ensemble des diviseurs de $n$ supérieurs ou égaux à $2$ est non vide (il contient $n$) ; soit $p$ son plus petit élément. Si $p$ n'était pas premier, il aurait un diviseur $d$ avec $2 \leqslant d < p$. Par transitivité, $d$ diviserait $n$, ce qui contredit la minimalité de $p$. Donc $p$ est premier.
Si $n$ n'est pas premier, son plus petit diviseur $p \geqslant 2$ vérifie $p < n$ et $n = pm$ avec $m \geqslant 2$. Comme $m$ est aussi un diviseur de $n$ supérieur ou égal à $2$, on a $m \geqslant p$. Donc $n = pm \geqslant p^2$.

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