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Décomposition en produit de facteurs premiers : énoncé (Maths expertes)

Théorème

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout entier $n \geqslant 2$ s'écrit comme un produit de nombres premiers : $$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$$ où $p_1 < p_2 < \dots < p_k$ sont des nombres premiers et $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ des entiers naturels non nuls. Cette écriture est unique (l'unicité est admise).

Démonstration : Décomposition en produit de facteurs premiers

Démonstration

Preuve de l'existence

Par récurrence forte sur $n \geqslant 2$.

$2$ est premier, c'est un produit à un seul facteur.
Soit $n \geqslant 3$ ; supposons que tout entier $m$ avec $2 \leqslant m \leqslant n - 1$ est un produit de nombres premiers. Si $n$ est premier, c'est terminé. Sinon, $n = ab$ avec $2 \leqslant a \leqslant n-1$ et $2 \leqslant b \leqslant n-1$. Par hypothèse de récurrence, $a$ et $b$ sont des produits de nombres premiers, donc $n = ab$ aussi.

Par récurrence forte, la propriété est vraie pour tout $n \geqslant 2$.

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Dans le cours

Arithmétique : Décomposition en produit de facteurs premiers