- Soit $M=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$. Justifier que $M$ est inversible et calculer $M^{-1}$.
- En déduire la solution du système $\begin{cases} 3x+2y=1 \\ 5x+4y=3 \end{cases}$.
- Pour tout réel $m$, on pose $A_m=\begin{pmatrix} m & 2 \\ 3 & m+1 \end{pmatrix}$. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $A_m$ est inversible.
Une matrice $2\times 2$ est inversible si et seulement si son déterminant $ad-bc$ est non nul.
Écrire le système sous la forme $MX=B$ et multiplier à gauche par $M^{-1}$.
Pour la question 3, factoriser le trinôme obtenu en cherchant ses racines.
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$\det(M)=3\times 4-2\times 5=12-10=2\neq 0$, donc $M$ est inversible et $$M^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}.$$ Vérification : $MM^{-1}=\begin{pmatrix} 6-5 & -3+3 \\ 10-10 & -5+6 \end{pmatrix}=I_2$.
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Le système s'écrit $MX=B$ avec $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. Comme $M$ est inversible, il admet une unique solution : $$X=M^{-1}B=\begin{pmatrix} 2\times 1-1\times 3 \\ -\frac{5}{2}\times 1+\frac{3}{2}\times 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}.$$ Vérification : $3\times(-1)+2\times 2=1$ et $5\times(-1)+4\times 2=3$. La solution est $(x;y)=(-1;2)$.
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$\det(A_m)=m(m+1)-2\times 3=m^2+m-6$. Or $(m+3)(m-2)=m^2-2m+3m-6=m^2+m-6$. Donc $$\det(A_m)=0\iff m=-3\ \text{ou}\ m=2.$$ Par exemple, $A_2=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ a ses colonnes égales. Conclusion : $A_m$ est inversible si et seulement si $m\neq -3$ et $m\neq 2$.
$M^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$ ; $(x;y)=(-1;2)$ ; $A_m$ inversible pour $m\in\mathbb{R}\setminus\{-3;2\}$