On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
- Calculer $AB$ et $BA$. Que constate-t-on ?
- Calculer $A^2$ et l'écrire sous la forme $kI_2$, où $k$ est un réel à préciser.
- En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$.
- Retrouver ce résultat à l'aide du déterminant de $A$.
Pour le coefficient $(i,j)$ d'un produit, on combine la ligne $i$ de la matrice de gauche avec la colonne $j$ de la matrice de droite.
Pour la question 3, chercher un réel $\lambda$ tel que $A\times(\lambda A)=I_2$.
Pour la question 4, calculer $ad-bc$, puis échanger $a$ et $d$ et changer le signe de $b$ et $c$.
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Les deux matrices sont carrées d'ordre $2$, donc $AB$ et $BA$ existent et sont carrées d'ordre $2$. $$AB=\begin{pmatrix} 1\times 0+2\times 2 & 1\times 1+2\times 4 \\ 3\times 0+(-1)\times 2 & 3\times 1+(-1)\times 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 & 9 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ $$BA=\begin{pmatrix} 0\times 1+1\times 3 & 0\times 2+1\times(-1) \\ 2\times 1+4\times 3 & 2\times 2+4\times(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 14 & 0 \end{pmatrix}$$ On constate que $AB\neq BA$ : le produit matriciel n'est pas commutatif.
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$$A^2=\begin{pmatrix} 1\times 1+2\times 3 & 1\times 2+2\times(-1) \\ 3\times 1+(-1)\times 3 & 3\times 2+(-1)\times(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}=7I_2.$$ Donc $k=7$.
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D'après la question 2 : $$A\times\left(\frac{1}{7}A\right)=\frac{1}{7}A^2=\frac{1}{7}\times 7I_2=I_2.$$ Pour des matrices carrées de même ordre, cette seule égalité suffit : $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{7}A=\begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix}.$$
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$\det(A)=1\times(-1)-2\times 3=-7\neq 0$, donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{-7}\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}=\frac{1}{7}A.$$ Les deux méthodes donnent le même résultat.
$AB=\begin{pmatrix} 4 & 9 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 14 & 0 \end{pmatrix}$, $A^2=7I_2$, $A^{-1}=\frac{1}{7}A$