Un service de vidéo propose deux formules : Standard (état $1$) et Premium (état $2$). Chaque mois, un abonné Standard passe en Premium avec probabilité $0{,}3$ ; un abonné Premium repasse en Standard avec probabilité $0{,}2$. Les autres abonnés gardent leur formule. On note $X_n$ la formule d'un abonné pris au hasard le mois $n$ et $\pi_n$ la distribution de $X_n$. On admet que $(X_n)$ est une chaîne de Markov. Au mois $0$, $\pi_0=\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$.
- Représenter le graphe probabiliste et écrire la matrice de transition $P$.
- Calculer $\pi_1$ et $\pi_2$.
- Déterminer la distribution invariante $\pi$ de la chaîne.
- Justifier que $(\pi_n)$ converge et interpréter la limite.
La ligne $i$ de $P$ contient les probabilités de partir de l'état $i$ ; chaque ligne a pour somme $1$.
La distribution est une ligne qui se multiplie à gauche : $\pi_{n+1}=\pi_nP$.
Poser $\pi=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$, écrire une équation de $\pi P=\pi$ et ajouter $x+y=1$.
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