Factorisation par l'angle moitié : méthode (Maths expertes)
Factorisation par l'angle moitié
Pour écrire $e^{ia}+e^{ib}$ ou $e^{ia}-e^{ib}$ sous une forme où apparaissent module et argument :
- On met en facteur $e^{i\frac{a+b}{2}}$.
- Il reste $e^{i\frac{a-b}{2}}\pm e^{-i\frac{a-b}{2}}$, qu'on simplifie avec Euler :
$$e^{ia}+e^{ib}=2\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}},\qquad e^{ia}-e^{ib}=2i\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)e^{i\frac{a+b}{2}}.$$
- On étudie le signe du facteur réel avant de lire module et argument.
Module et argument de $1+e^{i\theta}$
Soit $\theta\in\,]-\pi;\pi[$. On écrit $1=e^{i0}$ et on factorise par $e^{i\theta/2}$ :
$$1+e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}\right)=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}.$$
Comme $\dfrac{\theta}{2}\in\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$, on a $\cos\dfrac{\theta}{2}>0$. C'est donc une forme exponentielle : $\left|1+e^{i\theta}\right|=2\cos\dfrac{\theta}{2}$ et $\arg\left(1+e^{i\theta}\right)=\dfrac{\theta}{2}\;[2\pi]$.
Si $\cos\dfrac{\theta}{2}$ était négatif, le module serait $-2\cos\dfrac{\theta}{2}$ et il faudrait ajouter $\pi$ à l'argument.