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Linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ : méthode (Maths expertes)

Méthode

Linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$

Linéariser, c'est écrire une puissance de $\cos\theta$ ou de $\sin\theta$ comme une somme de termes $\cos(k\theta)$ ou $\sin(k\theta)$ (utile pour calculer une primitive).

On remplace $\cos\theta$ ou $\sin\theta$ par sa formule d'Euler.
On développe avec la formule du binôme.
On regroupe les termes deux par deux : $e^{ik\theta}$ avec $e^{-ik\theta}$.
On applique Euler dans l'autre sens : $e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}=2\cos(k\theta)$ et $e^{ik\theta}-e^{-ik\theta}=2i\sin(k\theta)$.

Exemple

Linéarisation de $\cos^3\theta$

$$\begin{aligned}\cos^3\theta&=\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\left(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}\right)\\&=\frac{1}{8}\left(2\cos(3\theta)+6\cos\theta\right)=\frac{1}{4}\cos(3\theta)+\frac{3}{4}\cos\theta.\end{aligned}$$

On retrouve la formule $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$. Application : une primitive de $\theta\mapsto\cos^3\theta$ est $\theta\mapsto\dfrac{1}{12}\sin(3\theta)+\dfrac{3}{4}\sin\theta$.

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Dans le cours

Nombres complexes : Linéariser $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$