Soit $\theta\in\,]0;2\pi[$ et $n$ un entier naturel non nul.
- Montrer que $1-e^{i\theta}=-2i\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}$. En déduire le module et un argument de $1-e^{i\theta}$.
- On pose $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}e^{ik\theta}$. Montrer que $$S=\frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,e^{i\frac{(n-1)\theta}{2}}.$$
- En déduire une expression de $C=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\cos(k\theta)$.
- Vérifier la formule pour $n=3$ et $\theta=\dfrac{\pi}{3}$, puis montrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)=0$ pour $n\geq2$.
On met $e^{i\theta/2}$ en facteur et on applique la formule d'Euler pour le sinus.
Pour le module, il faut connaître le signe de $\sin\frac{\theta}{2}$ lorsque $\theta\in\,]0;2\pi[$.
$S$ est une somme géométrique de raison $e^{i\theta}\neq1$ ; on factorise numérateur et dénominateur de la même façon.
Le facteur $\dfrac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ est réel : on prend la partie réelle de $S$.
1. On écrit $1=e^{i\theta/2}e^{-i\theta/2}$ : $$1-e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}\right)=e^{i\theta/2}\times\left(-2i\sin\frac{\theta}{2}\right),$$ car $e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}=2i\sin\alpha$ d'après Euler. Comme $\theta\in\,]0;2\pi[$, on a $\dfrac{\theta}{2}\in\,]0;\pi[$, donc $\sin\dfrac{\theta}{2}>0$. Avec $-i=e^{-i\pi/2}$ : $$1-e^{i\theta}=2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta-\pi}{2}},$$ qui est une forme exponentielle. Donc $\left|1-e^{i\theta}\right|=2\sin\dfrac{\theta}{2}$ et $\arg\left(1-e^{i\theta}\right)=\dfrac{\theta-\pi}{2}\;[2\pi]$.
2. Par la formule de Moivre, $e^{ik\theta}=\left(e^{i\theta}\right)^k$ : $S$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $e^{i\theta}$. Comme $\theta\in\,]0;2\pi[$, $e^{i\theta}\neq1$, donc $$S=\frac{1-e^{in\theta}}{1-e^{i\theta}}.$$ Le calcul de la question 1 (qui n'utilise que la formule d'Euler) appliqué à $n\theta$ donne $1-e^{in\theta}=-2i\sin\left(\dfrac{n\theta}{2}\right)e^{in\theta/2}$. Comme $\sin\dfrac{\theta}{2}\neq0$ : $$S=\frac{-2i\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)e^{in\theta/2}}{-2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}}=\frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,e^{i\frac{(n-1)\theta}{2}}.$$
3. $C=\mathrm{Re}(S)$, car $\mathrm{Re}\left(e^{ik\theta}\right)=\cos(k\theta)$ et la partie réelle d'une somme est la somme des parties réelles. Le facteur $\dfrac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ étant réel : $$C=\frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{(n-1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$
4. Pour $n=3$, $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ : directement, $C=\cos0+\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos\dfrac{2\pi}{3}=1+\dfrac12-\dfrac12=1$. Par la formule : $\dfrac{\sin\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\dfrac{1\times\frac12}{\frac12}=1$. Les deux résultats concordent.
Pour $n\geq2$, $\theta=\dfrac{2\pi}{n}$ appartient à $]0;2\pi[$ et $\dfrac{n\theta}{2}=\pi$, donc $\sin\dfrac{n\theta}{2}=0$ et la somme est nulle. On retrouve que la somme des éléments de $\mathbb{U}_n$ est nulle, dont c'est la partie réelle.
$|1-e^{i\theta}|=2\sin\frac{\theta}{2}$, $\arg=\frac{\theta-\pi}{2}$ ; $C=\frac{\sin(n\theta/2)\cos((n-1)\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$