Formule de Moivre : énoncé (Maths expertes)
Formule de Moivre
Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n\in\mathbb{Z}$ :
$$\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta},\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$
Pour $n\in\mathbb{N}$, c'est une récurrence immédiate à partir de la relation fondamentale ; pour $n$ négatif, on utilise $\left(e^{i\theta}\right)^{-1}=e^{-i\theta}$.
Démonstration : Formule de Moivre
Formules d'addition et de duplication
Soient $a$ et $b$ réels. D'une part $e^{i(a+b)}=\cos(a+b)+i\sin(a+b)$. D'autre part :
$$\begin{aligned}e^{ia}e^{ib}&=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)\\&=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b).\end{aligned}$$
Par la relation fondamentale, ces deux nombres sont égaux. On identifie parties réelles et imaginaires (les cosinus et sinus sont réels) :
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$
En remplaçant $b$ par $-b$, avec $\cos(-b)=\cos b$ et $\sin(-b)=-\sin b$ :
$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.$$
En prenant $b=a$ (duplication) :
$$\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a,\qquad \sin(2a)=2\sin a\cos a.$$
Les deux dernières formes de $\cos(2a)$ viennent de $\cos^2a+\sin^2a=1$.
Exprimer $\cos(3\theta)$ et $\sin(3\theta)$
On note $c=\cos\theta$ et $s=\sin\theta$. Par la formule de Moivre puis celle du binôme :
$$\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)=(c+is)^3=c^3+3c^2(is)+3c(is)^2+(is)^3=\left(c^3-3cs^2\right)+i\left(3c^2s-s^3\right).$$
On identifie, puis on utilise $s^2=1-c^2$ et $c^2=1-s^2$ :
$$\cos(3\theta)=c^3-3c(1-c^2)=4\cos^3\theta-3\cos\theta,$$ $$\sin(3\theta)=3(1-s^2)s-s^3=3\sin\theta-4\sin^3\theta.$$
Contrôle avec $\theta=0$ : $4-3=1=\cos 0$.