Formules d'Euler : énoncé (Maths expertes)

Pour tout réel $\theta$ :

$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$

En effet $e^{-i\theta}=\overline{e^{i\theta}}$, et pour tout complexe $z$ : $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)$, $z-\overline{z}=2i\,\mathrm{Im}(z)$. On applique ces relations à $z=e^{i\theta}$, de partie réelle $\cos\theta$ et de partie imaginaire $\sin\theta$.