Terminale › Nombres complexes › Distances et angles
Distances et angles : énoncé (Maths expertes)
Propriété
Distances et angles
Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des points d'affixes $a$, $b$, $c$, $d$.
- $AB=|b-a|$.
- Si $A\neq B$ : $(\vec{u},\overrightarrow{AB})=\arg(b-a)\;[2\pi]$.
- Si $A\neq B$ et $A\neq C$ : $$\frac{AC}{AB}=\left|\frac{c-a}{b-a}\right|\qquad\text{et}\qquad(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\;[2\pi].$$
- Plus généralement, si $A\neq B$ et $C\neq D$ : $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)\;[2\pi]$.
Démonstration : Distances et angles
Démonstration
Angle et quotient
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $b-a$. Le point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$ a donc pour affixe $b-a$, et $(\vec{u},\overrightarrow{AB})=(\vec{u},\overrightarrow{OM})=\arg(b-a)$. De même $(\vec{u},\overrightarrow{AC})=\arg(c-a)$.
Par la relation de Chasles sur les angles orientés : $$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AB},\vec{u})+(\vec{u},\overrightarrow{AC})=\arg(c-a)-\arg(b-a)=\arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\;[2\pi].$$
Pour le module : $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=\dfrac{|c-a|}{|b-a|}=\dfrac{AC}{AB}$.