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Terminale › Nombres complexes › Déterminer un ensemble de points

Déterminer un ensemble de points : méthode (Maths expertes)

Méthode

Déterminer un ensemble de points

Pour trouver l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant une condition :

  1. On repère des points fixes $A(a)$, $B(b)$ et on traduit en distances ou en angles :
    • $|z-a|=r$ ($r>0$) : cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ;
    • $|z-a|=|z-b|$ ($a\neq b$) : $MA=MB$, médiatrice de $[AB]$ ;
    • $\dfrac{z-a}{z-b}$ réel ($M\neq B$) : $M$ sur la droite $(AB)$, privée de $B$ ;
    • $\dfrac{z-a}{z-b}$ imaginaire pur ($M\neq B$) : $\overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB}$ ou $M=A$, donc cercle de diamètre $[AB]$ privé de $B$.
  2. Si la condition ne se lit pas directement, on pose $z=x+iy$ et on obtient une équation cartésienne.
Exemple

Ensemble défini par une égalité de modules

On cherche les points $M(z)$ tels que $|z-2i|=|z+1|$. Avec $A(2i)$ et $B(-1)$, l'égalité s'écrit $MA=MB$ : l'ensemble cherché est la médiatrice de $[AB]$.

Vérification par le calcul avec $z=x+iy$ : $x^2+(y-2)^2=(x+1)^2+y^2$, soit $-4y+4=2x+1$, c'est-à-dire $2x+4y-3=0$. Le milieu de $[AB]$, d'affixe $\dfrac{-1+2i}{2}$, soit $\left(-\dfrac12;1\right)$, vérifie bien $-1+4-3=0$.

Remarque

Rotations et écriture complexe

Les transformations du plan ne figurent pas au programme de mathématiques expertes, mais des exercices guidés peuvent les utiliser. L'écriture $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$ traduit : $\Omega M'=\Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})=\theta\;[2\pi]$ (pour $M\neq\Omega$), c'est-à-dire que $M'$ est l'image de $M$ par la rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$. C'est exactement la lecture de la méthode précédente avec $Z=\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$.

S’entraîner

Dans le cours

Nombres complexes : Déterminer un ensemble de points