On considère le polynôme $P(z)=z^3+z^2-4z+6$, pour $z\in\mathbb{C}$.
- Calculer $P(-3)$.
- Déterminer les réels $\beta$ et $\gamma$ tels que, pour tout $z$, $P(z)=(z+3)(z^2+\beta z+\gamma)$.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.
- On note $A$, $B$, $C$ les points d'affixes $-3$, $1+i$ et $1-i$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et calculer son aire.
On développe $(z+3)(z^2+\beta z+\gamma)$ et on identifie les coefficients avec ceux de $P$.
Il y a trois équations pour deux inconnues : la troisième sert de vérification.
Pour l'aire, on peut remarquer que $B$ et $C$ ont la même abscisse.
1. $P(-3)=(-3)^3+(-3)^2-4\times(-3)+6=-27+9+12+6=0$. Donc $-3$ est racine de $P$.
2. Pour tout $z$ : $$(z+3)(z^2+\beta z+\gamma)=z^3+(\beta+3)z^2+(\gamma+3\beta)z+3\gamma.$$ Par identification avec $z^3+z^2-4z+6$ : $\beta+3=1$ et $3\gamma=6$, donc $\beta=-2$ et $\gamma=2$. On vérifie le coefficient de $z$ : $\gamma+3\beta=2-6=-4$. Ainsi $P(z)=(z+3)(z^2-2z+2)$.
3. Par la propriété du produit nul, $P(z)=0\iff z=-3$ ou $z^2-2z+2=0$. Ce trinôme a des coefficients réels et $\Delta=4-8=-4<0$ ; ses solutions sont $\dfrac{2-2i}{2}=1-i$ et $\dfrac{2+2i}{2}=1+i$. L'ensemble des solutions est $\{-3\,;\,1+i\,;\,1-i\}$.
4. $AB=|1+i-(-3)|=|4+i|=\sqrt{17}$ et $AC=|1-i+3|=|4-i|=\sqrt{17}$. Donc $AB=AC$ : le triangle est isocèle en $A$.
Les points $B(1;1)$ et $C(1;-1)$ sont sur la droite d'équation $x=1$, donc $BC=2$. Le milieu $H$ de $[BC]$ a pour affixe $1$ ; comme le triangle est isocèle en $A$, $(AH)$ est la hauteur issue de $A$, et $AH=|1-(-3)|=4$. L'aire vaut $$\frac{BC\times AH}{2}=\frac{2\times4}{2}=4.$$
$P(z)=(z+3)(z^2-2z+2)$ ; solutions $\{-3\,;\,1+i\,;\,1-i\}$ ; aire $4$