Reconnaître une configuration avec $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$ : méthode (Maths expertes)
Reconnaître une configuration avec $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$
On suppose $A$, $B$, $C$ distincts et on calcule $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$ sous forme algébrique ou exponentielle.
| Condition sur $Z$ | Conclusion |
|---|---|
| $Z$ réel | $A$, $B$, $C$ alignés |
| $Z$ imaginaire pur | $(AB)\perp(AC)$ : triangle rectangle en $A$ |
| $\lvert Z\rvert=1$ | $AB=AC$ : triangle isocèle en $A$ |
| $Z=i$ ou $Z=-i$ | triangle rectangle isocèle en $A$ |
| $Z=e^{i\pi/3}$ ou $Z=e^{-i\pi/3}$ | triangle équilatéral |
Justification : $Z$ réel non nul signifie $\arg Z=0$ ou $\pi\;[2\pi]$, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires ; $Z$ imaginaire pur non nul signifie $\arg Z=\pm\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$. Pour l'équilatéral : $AB=AC$ et l'angle en $A$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ en valeur absolue, ce qui caractérise un triangle équilatéral.
Pour deux droites $(AB)$ et $(CD)$ : elles sont parallèles si $\dfrac{d-c}{b-a}$ est réel, perpendiculaires s'il est imaginaire pur.
Nature d'un triangle
Soient $A(1+i)$, $B(3+2i)$, $C(3i)$. On calcule $b-a=2+i$ et $c-a=-1+2i$, puis
$$Z=\frac{c-a}{b-a}=\frac{-1+2i}{2+i}=\frac{(-1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{-2+i+4i-2i^2}{5}=\frac{5i}{5}=i.$$
$|Z|=1$ donne $AC=AB$ et $\arg Z=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ donne $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$. Le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.
Contrôle : $AB=|2+i|=\sqrt5$ et $AC=|-1+2i|=\sqrt5$.
Alignement
Soient $A(1)$, $B(2+i)$, $C(4+3i)$. Alors
$$\frac{c-a}{b-a}=\frac{3+3i}{1+i}=\frac{3(1+i)}{1+i}=3.$$
Ce quotient est réel, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés. De plus $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$.
S’entraîner
- Calculs en forme algébrique
- Formule de Moivre et valeur exacte de cos(π/8)
- Deux triangles équilatéraux et un losange
- Angle moitié et somme de cosinus
- Valeur exacte de cos(2π/5)
Dans le cours
Nombres complexes : Reconnaître une configuration avec $Z=\dfrac{c-a}{b-a}$