Terminale › Fonction logarithme népérien › Concavité et tangente en 1
Concavité et tangente en 1 : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Concavité et tangente en 1
Pour tout $x>0$, $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ : la fonction $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$. Sa courbe est donc en dessous de chacune de ses tangentes.
La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=\ln'(1)(x-1)+\ln1$, soit $y=x-1$. On en déduit l'inégalité, valable pour tout $x>0$ : $$\ln x\leqslant x-1.$$
Exemple
Dériver des fonctions contenant ln
- $f(x)=x\ln x-x$ sur $]0\,;+\infty[$ : produit et somme, $f'(x)=1\times\ln x+x\times\frac1x-1=\ln x$.
- $g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : quotient, $$g'(x)=\frac{\frac1x\times x-\ln x\times1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ Le signe de $g'(x)$ est celui de $1-\ln x$. Or $1-\ln x>0\iff\ln x<1\iff x<e$. Donc $g$ est croissante sur $]0\,;e]$ et décroissante sur $[e\,;+\infty[$, avec un maximum $g(e)=\frac1e$.
S’entraîner
- Encadrement de ln(1 + 1/n) et limite de (1 + 1/n)^n
- Sujet type bac : étude d'une fonction et de son asymptote oblique