Exercice corrigé : Sujet type bac : étude d'une fonction et de son asymptote oblique

Partie A

1. $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et $g'(x)=2x+\dfrac1x$. Pour $x>0$, $2x>0$ et $\frac1x>0$, donc $g'(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

2. $g(1)=1-1+\ln1=0$. Comme $g$ est strictement croissante :

$g(x)<0$ sur $]0\,;1[$, $g(1)=0$, $g(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

Partie B

1. En $0$ : $\dfrac{\ln x}{x}=\ln x\times\dfrac1x$ tend vers $-\infty$ (produit de $-\infty$ par $+\infty$), donc $-\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty$. Comme $x\to0$, $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$.

En $+\infty$ : par croissances comparées $\frac{\ln x}{x}\to0$, et $x\to+\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

2. Par dérivation d'un quotient : $\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)'=\dfrac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$. Donc $$f'(x)=1-\frac{1-\ln x}{x^2}=\frac{x^2-1+\ln x}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}.$$ Comme $x^2>0$, $f'(x)$ a le signe de $g(x)$, étudié en partie A. Et $f(1)=1-0=1$.

3. a) $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}$ et $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$, donc $\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=0$ : la droite $\Delta$ est asymptote oblique à $\mathcal C_f$ en $+\infty$.

b) Comme $x>0$, $f(x)-x=-\dfrac{\ln x}{x}$ a le signe de $-\ln x$ :

• sur $]0\,;1[$, $\ln x<0$ donc $f(x)-x>0$ : $\mathcal C_f$ est au-dessus de $\Delta$ ;
• en $x=1$, $f(1)-1=0$ : $\mathcal C_f$ et $\Delta$ se coupent au point $(1\,;1)$ ;
• sur $]1\,;+\infty[$, $\ln x>0$ donc $f(x)-x<0$ : $\mathcal C_f$ est en dessous de $\Delta$.

4. La tangente au point d'abscisse $a$ est parallèle à $\Delta$ si et seulement si son coefficient directeur vaut $1$, c'est-à-dire $f'(a)=1$ : $$\frac{a^2-1+\ln a}{a^2}=1\iff a^2-1+\ln a=a^2\iff\ln a=1\iff a=e.$$ Il y a donc une unique tangente parallèle à $\Delta$, au point d'abscisse $e$. On a $f(e)=e-\dfrac1e$, d'où l'équation $y=1\times(x-e)+e-\dfrac1e$, soit $$y=x-\frac1e.$$

5. Comme $x^3>0$, $f''(x)$ a le signe de $3-2\ln x$. Or $3-2\ln x>0\iff\ln x<\frac32\iff x<e^{\frac32}$.

$f$ est convexe sur $\left]0\,;e^{\frac32}\right]$ et concave sur $\left[e^{\frac32}\,;+\infty\right[$. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $e^{\frac32}$ : $\mathcal C_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $e^{\frac32}\approx4{,}48$.

6. Sur $]0\,;1]$, $f$ est continue et strictement décroissante, avec $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ et $f(1)=1$. Comme $2\in]1\,;+\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=2$ a une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$.

Sur $[1\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante, avec $f(1)=1$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ : l'équation a une unique solution $\beta$ dans $]1\,;+\infty[$.

L'équation admet donc exactement deux solutions, et $\alpha<1<\beta$.

À la calculatrice : $f(2{,}3)\approx1{,}938<2$ et $f(2{,}4)\approx2{,}035>2$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ : $2{,}3<\beta<2{,}4$.

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