- Justifier, à l'aide de la concavité de la fonction $\ln$, que pour tout réel $x>0$ : $\ln x\leqslant x-1$.
- En appliquant l'inégalité précédente au réel $\frac1x$, montrer que pour tout réel $x>0$ : $\ln x\geqslant1-\dfrac1x$.
- En déduire que, pour tout entier $n\geqslant1$ : $$\frac1{n+1}\leqslant\ln\left(1+\frac1n\right)\leqslant\frac1n.$$
- En déduire $\lim_{n\to+\infty}n\ln\left(1+\dfrac1n\right)$, puis $\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n$.
- Pour $n\geqslant1$, on pose $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1k$. Montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n+1)$, puis que $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty$.
Une fonction concave est en dessous de ses tangentes ; chercher la tangente en $1$.
Pour 3., appliquer les deux inégalités avec $x=1+\frac1n=\frac{n+1}{n}$.
Pour 4., écrire $\left(1+\frac1n\right)^n=e^{n\ln\left(1+\frac1n\right)}$. Pour 5., écrire $\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(k+1)-\ln k$.
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Pour tout $x>0$, $\ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$, donc $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ et sa courbe est en dessous de chacune de ses tangentes. La tangente au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=\ln'(1)(x-1)+\ln1=x-1$. Donc, pour tout $x>0$, $\ln x\leqslant x-1$.
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Soit $x>0$. Alors $\frac1x>0$ et, d'après 1., $\ln\left(\frac1x\right)\leqslant\frac1x-1$, soit $-\ln x\leqslant\frac1x-1$. En multipliant par $-1$ : $\ln x\geqslant1-\dfrac1x$.
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Soit $n\geqslant1$ et $x=1+\frac1n=\frac{n+1}{n}>0$. On a $x-1=\frac1n$ et $1-\frac1x=1-\frac{n}{n+1}=\frac1{n+1}$. Les questions 1. et 2. donnent : $$\frac1{n+1}\leqslant\ln\left(1+\frac1n\right)\leqslant\frac1n.$$
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En multipliant par $n>0$ : $$\frac{n}{n+1}\leqslant n\ln\left(1+\frac1n\right)\leqslant1.$$ Or $\dfrac{n}{n+1}=\dfrac1{1+\frac1n}\to1$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n\to+\infty}n\ln\left(1+\frac1n\right)=1$.
Par ailleurs $\left(1+\frac1n\right)^n=e^{\ln\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)}=e^{n\ln\left(1+\frac1n\right)}$. La fonction $\exp$ étant continue en $1$, par composition : $\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e^1=e$.
- Pour $k\geqslant1$, $\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln\left(\frac{k+1}{k}\right)=\ln(k+1)-\ln k$. La somme est télescopique : $$\sum_{k=1}^{n}\big(\ln(k+1)-\ln k\big)=\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1).$$ D'après 3., pour tout $k\geqslant1$, $\frac1k\geqslant\ln\left(1+\frac1k\right)$. En sommant ces inégalités pour $k$ de $1$ à $n$ : $H_n\geqslant\ln(n+1)$.
Comme $\lim_{n\to+\infty}\ln(n+1)=+\infty$, par comparaison $\lim_{n\to+\infty}H_n=+\infty$.
$\lim n\ln\left(1+\frac1n\right)=1$ ; $\lim\left(1+\frac1n\right)^n=e$ ; $\lim H_n=+\infty$