Relation fonctionnelle : énoncé (Terminale spé)

Soient $a>0$ et $b>0$. D'une part $e^{\ln(ab)}=ab$. D'autre part, avec la propriété $e^{u+v}=e^ue^v$ : $$e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=ab.$$ Ainsi $e^{\ln(ab)}=e^{\ln a+\ln b}$. La fonction $\exp$ étant strictement croissante, elle est injective : deux réels qui ont la même exponentielle sont égaux. Donc $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.